对流扩散方程概述

2020/6/30 10:12:39 人评论 次浏览 分类:有限体积知识

  对流扩散方程(convection diffusion equation )是一类基本的运动方程,它可以用来对流扩散问题数值计算方法的研究具有重要的理论和实际意义,可用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等许多领域。

  该方程表征了流动系统的质量传递规律,求解此方程可得出浓度分布。此方程系通过对系统中某空间微元体进行物料衡算而得。对于双组分系统,A组分流入某微元体的量,加上在此微元体内因化学反应生成的量,减去其流出量,即为此微元体中组分A的积累量。考虑到组分A进入和离开微元体均由扩散和对流两种作用造成,而扩散通量是用斐克定律(见分子扩散)表述的,于是可得如下的对流扩散方程:

  ‍  式中DAB为组分A在组分B中的分子扩散系数;rA为单位时间单位体积空间内因化学反应生成组分A的量;CA为组分A的质量浓度;τ为时间;uxuyuz分别为流速u的三个分量。上述方程表明,传质与流动密切相关;只有解得速度分布之后,才能从对流扩散方程解得浓度分布,进而求得传质通量。

编辑本段对流扩散方程的求解

  对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容,求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)有限元法(FEM)有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)边界元法(BEM)、谱方法(SM)

  等多种方法。但是对于对流占优问题,用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。

  为了克服数值震荡,80年代,J.Douglas,Jr.T.F.Russell等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题,与其它方法相结合,提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法;T.J.HughesA.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法,称为流线扩散方法(SDM)。有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。

编辑本段对流扩散方程的特点

  对流扩散方程右端第一项为扩散项,左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点,给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程,可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet)来描述,PecletPe的定义为:Pe=|ν‍|L/D。这里v是来流速度,L是特征长度,D是物质的扩散系数。如果Pe数较小,即对流效应相对较弱,这类问题中,扩散占主导地位,方程是椭圆型或抛物线型;如果Pe数较大,即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的,这类问题中,对流占优,方程具有双曲型方程的特点。

  对于对流占优问题的求解,采用常规的Galerkin有限元方法,为了避免求解结果产生数值振荡,获得稳定解,则应使每个单元的局部Peclet数,Peh=|ν‍|h/D≤‍2,这里h为单元的最大尺寸,|v|为单元中的最大速度分量值。因此,用本文方法求解对流占优对流扩散问题,要得到稳定解,则要通过加密有限元网格来实现。

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